(A) 调和级数

考察

按照 分组：

对上下界分别进一步放缩：

因此有 。

(B) 质数计数函数

考察

本节中 取质数。

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先证明上界。

注意到：

证明：

应用数学归纳法，对于较小的 （例如 ），容易验证成立。

对于奇数 ，有

其中

因此有

只需要注意到

应用第二数学归纳法即可；对于偶数 ，有

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对不等式两侧取对数，有

因此

进而有

因此有 。

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再考察下界。

定义

设函数 表示 的因数分解中质数 的次数，在等式两侧应用 ，有

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因此有

又因为

因此有下界 。

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总之 ，一个推论是 。

(C) 质因子个数和

考察 Eratosthenes 筛的复杂度：

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显然原式与

在渐进意义上等价。

我们将这个求和的前 项扔掉，方便使用 和 的估计。

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因此只需考察

进行放缩

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考察求和

的渐进。

按 分组，有

其中

因此 ；同理 。

故 。

(D) 对数求和 (1)

考虑

下界显然，容易将其放缩到 ：

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考虑上界，我们将要证明：

应用数学归纳法，对于 ，有 。

若对于任意 成立，考虑证明其对 也成立。

令 ，有

因此，

故只需要

进行二项式展开：

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综上所述，有

总之，。

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事实上，上文中的 在 取极限时趋近于 ，应用这一结论即得到斯特林公式的一个较弱形式：