对于非负实数 ，存在不等式：

当且仅当 均相等时取等。

0x00

考虑一个加强形式

对于非负实数 ，和正实数 ，其中

存在不等式

当且仅当 均相等时取等。

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先证二元形式

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对于 和 的情形，容易验证不等式成立，并且 时不等式取等。

不考虑这两种情况，不妨假设 。

令

我们证这时不等号取严格小于：

代入式 ，有

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设辅助函数 ，则 可以写为

根据拉格朗日中值定理，存在 ，使得

代入 ，有

上述变形均为等价变形。

欲证明式 ，只需 单调递减，而

证毕。

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对原命题施数学归纳法。

对于 ，已经验证命题成立。

假设 时，命题成立，即

当且仅当 全部相等时取等。

下证 时命题亦成立。

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令

则

因此

当且仅当 全部相等时取等。

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总之，原不等式成立，当且仅当 全部相等时取等。

取 全部相等，即均值不等式。

0x01

仍考虑 中提到的加强形式的二元形式，不妨令 且 。

不等式两侧同时除以 ，有

由于 可以是任何大于等于 的实数，不妨将 替换为 （这里更换了符号含义），即

上述变形均为等价变形。

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考虑辅助函数 。

首先，有 。

考虑函数单调性，有

由于 和 ，有 ，因此 在 上单调递减。

综上，，当且仅当 时取等。

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因此， 成立，当且仅当 时取等；即原不等式成立，当且仅当 时取等。

不再重复数学归纳法。

0x02

方便起见，令

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原命题即为

记其为 。

对于 和 ，显然成立。

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若 成立，则 显然成立。

例如，对于 ，有

---

若 成立，则 显然成立。

因为 成立，有

即

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根据以上两个陈述，可以得到：

1. 对于任意 ， 成立；
2. 对于任意 ，若 成立，则对于任意 ， 成立。

而对于任意 ，总可以找到 ，使得 。

因此 对于任意 成立。

0x03

令 ，则 。

作代换 。

根据排序不等式，有

移项得