- 使用大写字母，如 等表示的函数，在没有特殊说明的情况下，系有理系数多项式函数；
- 使用大写字母，如 等表示的参数或变量，在没有特殊说明的情况下，系有理数； 出现在不定积分结果时除外；
- 使用 表示的参数或变量，在没有特殊说明的情况下，系正整数；
- 使用 表示的参数或变量，在没有特殊说明的情况下，系有理数；特别地， 没有特殊说明的情形为既约分数。
Pi
众所周知：
因此
而 的积分可以利用换元得到，这里令 。
因此， 在 上的积分结果是 的线性组合，即
如果我们可以构造 使得其在 恒非负，即可证明（一般不能取等）：
一般来说，要求证明的不等式是比较紧的，因此积分结果不能太大，为了实现这一点，通常使用 作为 的因式。
又因为积分结果中有 个参数需要控制，可以取
这样，我们可以从小到大遍历 ，并通过控制 的取值调整结果中 的取值，后者可以通过解一个 元线性方程组来实现。
假如解得 满足函数 在 上恒非负，则积分构造成功。
其中
E
考虑积分
同理，有
不难得到
利用 控制精度， 控制参数。
其中
这里 满足递推：
Pi^n
先对积分的几个部分分别作出证明。
Part 1
有关 函数的结论见欧拉第二积分。
Part 2
为正偶数时，有
因此
式中 表示 Dirichlet eta 函数， 表示 Riemann zeta 函数， 表示 伯努利数。
故积分式中 为奇数时，积分有较好的结果，且积分结果包含 。
上述结果可以参考巴塞尔问题和 zeta(2k)。
Part 3
若 为偶数，记 ，则有
式中 表示 Dirichlet beta 函数， 表示 欧拉数。
此时积分结果较简洁。
构造
综合上述 个积分，我们考虑如下函数的积分：
式中使用 而非 是为了方便讨论正负号，这时只需确保 在 恒非负。
若 为奇数，我们令 为偶数，则 做完大除法后形式必然为
分别应用 和 的结论即可。
否则， 为偶数，则令 为奇数， 做大除法后的形式为
可以分别应用 和 的结论。
总之，我们有
其中
可能由于这部分涉及的函数的不定积分并没有简单的封闭形式，sympy 不能处理这些函数的定积分，尽管后者有简洁的形式。
不过 sympy 仍然可以辅助计算，例如，sympy.zeta 和 sympy.dirichlet_eta 可以计算 函数和 函数。
另外， 和 可以使用 sympy.euler 和 sympy.bernoulli 计算。
E^q
考虑积分
因此有
这里
E^Pi
由于需要使函数的非负性显然，我们考虑 上的积分。
令
则
其中
故
移项得
现在考察递推起点 和 ：
若令以上积分的下界为 ，上界为 ，则
因此有
E^(q*Pi)
类似地，令
则
其中
代入并移项
对于递推起点 ，有
令积分下界为 ，上界为
因此