一个解错的方程
考虑方程（注意幂运算是右结合的）
如果我们将上述过程抽象，就得到
对于方程
方程的根为 。
那么， 时，方程的根也为 了。
这就是说， 既等于 ，又等于 。
这是荒谬的，解释只有一个，我们引入了增根，得到的两个方程的解不都是真的解。
增根？
为什么会引入增根呢？回想我们解方程时做的变形，例如，我们从 式推到 式。
通常情况下，我们作等价变形，即
例如利用等式基本定理，在等式两侧同时加、减相同的代数式，或在等式两侧同时乘相同的常数。
但在求解复杂的方程时，我们经常作充分变形，即
这种情况下， 是 的充分条件（），因此 的解不都是 的解。例如，在等式两侧同时乘一个代数式，或在等式两侧同时平方。
这时，我们需要将解 得到的结果进行检验。
也有些时候，我们不小心作了必要变形，即
这时 的根不都是 的根（），因此会造成失根。这种情况是需要避免的。
那么，我们求解的过程中，哪里可能引入增根呢？
无穷幂塔在形式上不太严格，让我们说得更形式化一些
考虑递推数列 ，满足
那么方程实际上就是
第一步变形，实际上就是对递推式两侧取了极限
这时，自然有
因此，根本原因在于，只有下式确实成立时，我们才能作上述变形。
换句话说，若方程有解，则解一定是 ，但我们的方法无法排除解不存在的情况。
我们不妨将 代入检验一下。
注意到，，因此 ，数学归纳得 ；因此 。
再验证数列单调，即 ，也就是 。由函数 的单调性易证。
因此极限存在且 。
利用递推式两侧取极限的手法，我们容易说明，若极限存在，则极限就是 。
最值
让我们考察一下数列 在何时收敛。
先假定数列收敛到 ，根据前文，有 。
由于函数 在 时取最值 ，因此不可能有 ，即此时极限不存在。
考虑 ，我们证明此时极限存在。
方便描述，这里设 ，显然此时满足 。
1 <= alpha <= e
先证明数列有界，考虑利用数学归纳法得到 。
- 首先，显然有 。
- 其次，若对于 均有 ，则 。
再证明数列单调，即 。
根据函数单调性知识，等价于 。又 ，证毕。
0 < alpha < 1
这里的分析更困难一些，实际上，此时数列未必收敛——它有可能发散到两个点。即数列的奇数列和偶数列分别收敛，但这两个极限未必相等。
容易证明（根据函数 的单调性）有
形式上，也可以记 。
因此显然数列的奇数列和偶数列分别收敛，然而， 时两个极限不再相等（此时 ）。
也就是说，数列极限 的取值范围为 。
这里尝试给出一个证明。
方便起见，记首项 ，递推公式 。
记 ，易得 时 为减函数，从而 有且只有一个零点。
对 求导，得
只需证 在 时恒不大于 。
只需证其最大值小于 ，因此考察 的零点 ：
显然 ，因此
解得
将结果代入 ，易得 ，故 为 的极大值点，由于极大值点唯一，这也是其最大值点。因此 的最大值为 。
设偶数列的极限为 ，奇数列的极限为 ，若 ，则显然 均为 的零点，矛盾，故此时 。
设 满足 ，显然有 唯一且 ，这里 表示 Lambert-W 函数。
考虑 的值，显然有
在 时，有 。
由于 在其定义域为增函数，则 ，因此 。
根据导数的定义
由极限相关性质，存在正实数 使得对于任意 ，有
即
显然不存在 ，否则得到任意 。
此时若 收敛到 ，由数列极限的定义，取 ，存在 使得任意 满足 。
则根据递推公式形式，，矛盾。
构造
最后，还剩下一个小问题，对于文章开头的构造，可以构造出多少有理解？
换句话说，方程 有多少有理解满足 ？
两侧同时乘方，得
不妨设 ，则
因此得到
假设 可以表示为既约分数 ，则
若 ，则显然 恒为有理数。
否则，设 ，则 均为完全 次方数，不妨 。
则有
同时取等当且仅当 且 ，矛盾。
总之，若 ，则 。
将其代入 表达式，得
时，即为文章开头的示例 。
有趣的是， 时， 且 。