本文讨论形如下式的递推数列通项，这里限定 。

通法

考虑在递推式两侧同时乘 ，于是递推式变为

显然有

因此问题转化为 的前 项和。

特解

f(n) = q

方法 1

可以直接应用等比数列求和公式。

方法 2

参见 一类分式递推数列的通项公式求法。

方法 3

差分

作换元

因此 为等比数列。

再求和

f(n) = q^n

此时有

只需要应用等比数列求和公式即可。

f(n) = qn

方法 1

此时

这是一个“等差数列乘等比数列”的求和，可以参见 有限微积分。

方法 2

此时数列递推式为

考虑待定系数

对比系数得

则 为等比数列，公比为 。

方法 3

差分

作换元

因此 符合 的形式，可以考虑再作差分。

可以观察到，对于 为多项式函数时，可以多次差分将数列化为等比形式再反复求和。

f(n) = sn^2+tn

方法 1

转化为 的求和。利用 有限微积分 求解。

方法 2

继续待定系数法，假设原递推式可以化为

对比系数解出 ， 为等比数列。

方法 3

作 次差分再作 次求和。