ZF 公理体系中，元素有且只有一种类型，即集合（set）。

包含选择公理（AC）时，缩写为 ZFC 公理体系。

Extensionality 外延公理

这条公理规定了等号的含义。

Null Set 空集公理

由外延公理可以证明这个集合唯一，我们引入符号 表示这个集合 。

Pairs 配对公理

配对公理规定对于任意的 和 ，存在一个集合为 ；特别地，对于任意的 ，存在集合 。

Power Set 幂集公理

幂集公理规定对于任意集合 存在集合 包含且只包含 的子集。由于可以证明这种集合唯一，我们使用 表示这个集合，称它为 的幂集。

如果我们规定了子集符号 表示 ，则幂集公理也可以写作

Unions 并集公理

并集公理规定，对于任何集合 ，存在一个集合 ，使得它包含所有 的成员的成员。

由于任何集合 的并集唯一，我们使用 表示它。

Infinity 无穷公理

若我们将 记作 ，则另一种写法为：

无穷公理保证了以下形式的集合：

这在形式上与自然数集相同，但是无穷公理规定的集合不唯一，若希望取出唯一的自然数集，可以使用分类公理模式。

Separation 分离公理模式

分离公理模式使用元变量 表示一系列满足这个形式的公理。

实际上，公式 可以看作一个类（class）。分离公理模式规定可以从任意的集合 中取出所有满足公式 的元素构成一个集合 。可以证明这个集合是唯一的。使用集合建构式符号记作 。

利用分离公理，可以定义集合的交。

分离公理模式暗示了没有全体集合构成的集合。

Replacement 替代公理模式

其中 表示存在唯一的 ，这也可以写作

因此是合法的，但是前者更简洁。

替代公理的前半部分 中公式 实际上可以看作一个函数 ，因为 对于任意的 都有唯一输出 。

替代公理的后半部分规定，对于任意一个集合 ，都存在一个集合 ，后者是由 应用到 中每个元素上形成的像集。

用更简洁的写法就是：

Regularity 良基公理

这句话否认了诸如 一类的集合。

Choice 选择公理

即 ZFC 中的 C，缩写为 AC。

简单来说，给定一些非空集合，存在一个函数，可以从每个集合中选择出一个元素。